Dérivées et fonctions

Le problème d'origine : une vitesse instantanée

Une voiture parcourt 90 km en 1 h : sa vitesse moyenne est 90 km/h. Mais à l'instant précis où elle passe devant le radar, elle roule peut-être à 112 km/h. La vitesse moyenne se calcule sur un intervalle ; la vitesse instantanée est ce que devient cette moyenne quand l'intervalle devient minuscule. La dérivée est exactement cette idée.

Taux de variation (ou taux d'accroissement)

Pour une fonction f et deux réels a et a + h (avec h ≠ 0), le taux de variation entre a et a + h vaut :

T(h) = (f(a + h) − f(a)) / h.

C'est la pente de la droite qui relie les deux points de la courbe : la corde. Une pente, donc une variation moyenne.

Nombre dérivé

Si T(h) tend vers un nombre fini L quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et on note f′(a) = L. Le nombre dérivé est la limite de la pente de la corde quand le second point vient se coller au premier.

Calcul détaillé sur f(x) = x²

T(h) = ((a + h)² − a²) / h = (a² + 2ah + h² − a²) / h = (2ah + h²) / h = 2a + h.

Quand h tend vers 0, T(h) tend vers 2a. Donc f′(a) = 2a : la fonction dérivée de x² est 2x. On ne devine pas ce résultat, on le fabrique par ce calcul en trois lignes — développer, simplifier par h, faire tendre h vers 0.

Trois lectures du même nombre

• Physique : f′(a) est la vitesse instantanée si f est une position.
• Géométrique : f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.
• Économique : f′(a) est le coût marginal, c'est-à-dire le coût approximatif de l'unité suivante.

Erreur fréquente à éliminer tout de suite

Confondre f(a) et f′(a). f(a) est une hauteur (où se trouve la courbe), f′(a) est une pente (comment elle penche). Une courbe peut être très haute et parfaitement plate : f(a) = 1000 et f′(a) = 0. Écris toujours l'unité mentalement : des mètres pour f, des mètres par seconde pour f′.

À toi de jouer

Soit f(x) = x² + 3x. Calcule le taux de variation entre 2 et 2 + h, simplifie, puis déduis f′(2).

Corrigé

f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = 10 + 7h + h². Or f(2) = 10. Donc T(h) = (7h + h²)/h = 7 + h. Quand h → 0, T(h) → 7 : f′(2) = 7. Vérification par la formule générale f′(x) = 2x + 3, qui donne bien 7 en x = 2.