Théorème de Pythagore
Du triangle rectangle à la mesure indirecte : reconnaître l'hypoténuse, appliquer l'égalité a² + b² = c², calculer un côté manquant et utiliser la réciproque pour prouver qu'un angle est droit.
Le théorème et sa démonstration
Vocabulaire indispensable
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse : c'est toujours le plus long. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.
Énoncé
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Pourquoi c'est vrai (démonstration par les aires)
Prends un grand carré de côté (a + b). Place à l'intérieur quatre copies du triangle rectangle de côtés a et b. Il reste au centre un carré de côté c.
Aire totale : (a + b)² = a² + 2ab + b². Aire des quatre triangles : 4 × (ab/2) = 2ab. Le carré central vaut donc (a² + 2ab + b²) − 2ab = a² + b². Or ce carré a pour aire c². Donc c² = a² + b².
Exemple guidé
Triangle rectangle avec a = 3 cm et b = 4 cm. Alors c² = 9 + 16 = 25, donc c = 5 cm. Le triplet (3 ; 4 ; 5) est le plus célèbre : les maçons l'utilisent pour tracer un angle droit sans équerre.
Erreur fréquente
Placer l'hypoténuse au mauvais endroit. Si on écrit 5² + 3² = c² alors que 5 est l'hypoténuse, on trouve un côté plus long qu'elle : impossible. Repère toujours l'angle droit AVANT d'écrire l'égalité.
À toi de jouer
Un triangle est rectangle avec les côtés de l'angle droit mesurant 6 cm et 8 cm. Calcule l'hypoténuse.
Corrigé
c² = 36 + 64 = 100, donc c = 10 cm. C'est le triplet (3 ; 4 ; 5) multiplié par 2.
Résumé
Lire l'énoncé et souligner les données chiffrées → Écrire la relation ou la formule adaptée → Isoler l'inconnue puis calculer étape par étape → Vérifier l'ordre de grandeur et l'unité du résultat.
Question 1 sur 5